三重积分交换次序问题

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交换dy,dz时，x看做常数，那么在yoz直角坐标系中，y是从0到1-x,z是直线z=y+x，到z=1。所以，变换就是从Y型区域变为Z型区域，如图所示

三重积分也有积分次序的问题（共有6种次序），但由于积分区域的情形比平面区域复杂得多，交换次序是很麻烦的事情，所以三重积分里交换积分次序的问题是不要求的，只要知道有6种次序，并且能够从这6种次序里选择一种最容易计算的积分次序计算积分就行了。

交换积分次序的问题只在直角坐标下讨论，因为三个直角坐标地位完全平等。在其它坐标下，也是因为积分区域的表达会变得非常困难，我们就不讨论交换积分次序的问题了。

交换积分次序不是在做游戏，而是为了使我们计算积分简化，如果明明已经知道在某种次序下计算最方便，还要去考虑其它的次序，这是违背数学精神的，这也就是在其它坐标下不考虑积分次序的原因。 ?

在极坐标下的积分次序总是：先对ρ，后对θ； ?在柱面坐标下的积分次序总是：先对z（或x ，或y），再对ρ，后对θ； ?在球面坐标下的积分次序总是：先对r，再对φ ，后对θ 。

一般场合，极坐标系下二重积分的计算，都是遵循先ρ后θ的形式，少数场合需要交换次序的时候，按下面步骤来：

(1)先按先ρ后θ的次序写好。

(2)再把关于ρ和θ的区域直接转换成直角坐标系。

按照直角坐标系下交换积分次序的方法完成。

比如，区域为x?+y?≤x；

极坐标系下先ρ后θ的积分区域表示成-π/2≤θ≤π/2；

0≤ρ≤cosθ；

然后，建立以θ为横坐标，ρ为纵坐标的直角坐标系，区域变成由ρ=cosθ (-π/2≤θ≤π/2)和θ轴围成的区域，改变积分次序后，变成0≤ρ≤1-arccosρ≤θ≤arccosρ这样就可以了。

二重积分：

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

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